斜距離と鉛直角から水平距離・高低差を計算

計算式

高度角 v（仰角が正）で、水平距離 D＝S×cos v、高低差 ΔH＝S×sin v＋器械高−目標高＋両差 です。天頂角 Z で観測したときは v＝90°−Z に直します。既定値の斜距離 320.000m・高度角 3.25° では D＝320×0.99839＝319.486m、S×sin v＝18.142m に器械高 1.520 を足し目標高 1.800 を引いて 17.862m です。

地球の曲率で目標は低く見え、大気の屈折で高く見えます。両者を合わせた両差＝(1−k)×D²／(2R)（k は気差係数 0.14、R は地球半径 6,371km）は 0.86×319.486²／12,742,000＝0.0069m で、これを足した 17.869m が高低差です。300m 程度では mm の桁ですが、1km を超えると数cm になり無視できません。

距離と両差の大きさ（k＝0.14）

鉛直角の3つの表し方

間接水準の誤差要因（水平距離 320m）

※本ツールは計算式による参考計算です。公共測量・登記測量の成果は、公共測量作業規程の準則および国土地理院の公式計算・成果に従ってください。

斜距離と鉛直角から水平距離・高低差を計算の詳しい解説

レベルを使わずにトータルステーションの角度と距離から高さを求める方法を間接水準（三角水準）と呼びます。計算は三角関数そのもので、斜距離に高度角の余弦を掛ければ水平距離、正弦を掛ければ器械の望遠鏡中心から目標のプリズム中心までの高さの差です。ここに器械高を足し、目標高を引けば、地面の点から地面の点への高低差になります。この2つの高さを足し引きする向きを間違えると、計算は合っているのに高さだけずれる典型的な事故になります。器械高は基準点の標識面から望遠鏡の回転軸まで、目標高は目標点の地面からプリズム中心までと、いつも同じ定義で測ることが第一歩です。

器械が表示する角が高度角なのか天頂角なのかも、最初に確かめるべき点です。多くのトータルステーションは天頂角（真上が 0°、水平が 90°）で表示し、俯角は 90° を超える値になります。高度角に直すには 90° から引きます。逆に高度角表示の器械では仰角が正、俯角が負です。このツールは入力の種類を選べるので、器械の表示をそのまま入れて構いません。設定を取り違えると水平距離と高低差が入れ替わったような値になり、すぐに気づきますが、水平に近い観測ではどちらの解釈でも近い値になるので、点検の観測で必ず確認してください。

両差は距離が長いほど急に効いてきます。地球が丸いため、水平線は遠ざかるほど下がって見え（球差）、大気の密度が高度で変わるため光は下に曲がって目標は少し高く見えます（気差）。球差は D²／2R、気差はその k 倍で、k は日本付近の標準的な大気で 0.13〜0.14 が使われます。差し引きの両差は 300m で 6mm、1km で 7cm、2km で 27cm に達し、長距離の間接水準では必ず補正します。より確実なのは両端から同時に観測する対向観測で、往復の平均をとれば両差の大部分が相殺され、気差係数の不確かさも消えます。

精度を決めるのは鉛直角です。角度の誤差は距離に比例して高さの誤差になり、10″ の誤差は 320m で 15mm、1km で 5cm です。測距の誤差が高低差に与える影響は sin v 倍に縮むので小さく、器械高・目標高の測定誤差はそのまま乗ります。したがって精度を上げるには、正反観測で鉛直角を平均する、視準距離を短く保つ、器械高・目標高を丁寧に測る、の3つが要点です。数mm が必要な場面では直接水準に切り替え、間接水準は cm 級の高さ管理や、レベルを据えられない急斜面・河川横断に使うのが向いています。

間接水準の結果は勾配としても読めます。高低差を水平距離で割った勾配は、道路や排水の縦断、法面の管理に直結する値です。ただし勾配を角度から直接 tan v で求めると器械高と目標高の差が入らないので、地面どうしの勾配が必要なときは高低差を水平距離で割る方の値を使ってください。既定値では tan v による 5.68% と、高低差から求めた 5.59% に差があり、この差が器械高と目標高の違いから来ています。

別の条件での計算例

対岸の点を天頂角 92°30′00″・斜距離 850.000m で観測し、器械高 1.550m・目標高 2.000m の場合を見ます。天頂角が 90° を超えているので俯角 −2.5° で、水平距離は 850×cos2.5°＝849.191m、S×sin v＝−37.076m、器械高と目標高を加減して −37.526m です。両差は 0.86×849.191²／12,742,000＝＋0.049m と 5cm 近くあり、補正後の高低差は −37.477m になります。300m の例では 7mm だった両差が 850m では 49mm に増えるのは距離の二乗に比例するためで、この距離では補正を省けません。さらに確実にするなら対岸からも同時に観測し、往復の高低差（符号を反転して）を平均します。両差は往復で打ち消し合い、気差係数の当日の値が分からなくても結果に影響しなくなります。鉛直角 10″ の誤差は 849m では 41mm の高低差の誤差に相当するので、正反観測の平均は必須です。

業界・現場での使い方

よくある間違い・注意点

• 天頂角を高度角として計算する — 90° を引いてから使います。水平に近い観測では気づきにくいので設定を必ず確認します。
• 器械高と目標高の足し引きを逆にする — 高低差＝S×sin v＋器械高−目標高 です。定義を統一して毎回同じ向きで計算します。
• 長距離で両差を無視する — 1km で 7cm、2km で 27cm ずれます。300m を超えたら補正するか対向観測にします。
• 斜距離を水平距離として座標計算に使う — 斜距離×cos v が水平距離です。3.25° でも 320m で 0.5m 違います。
• 鉛直角を片観測で済ませる — 正反観測の平均で鉛直軸誤差と視準誤差を消します。10″ の誤差が 320m で 15mm になります。

関連する規格・公的資料

• 国土地理院 — 基準点成果・ジオイドモデル・平面直角座標系の告示と解説
• 国土地理院 測量計算サイト — 緯度経度と平面直角座標の換算・ジオイド高の公式計算サービス
• 公共測量作業規程の準則（国土地理院） — 基準点測量・水準測量の方法と許容範囲
• e-Gov 法令検索（測量法・測量法施行令） — 測量法と、平面直角座標系を定める施行令
• 日本測量協会 — 測量技術の普及と測量士・測量士補の教育
• 日本測量調査技術協会 — 測量技術者の団体。技術資料と研修
• 日本測地学会 — 測地学・ジオイド・座標系の学術団体
• 国土交通省 — 道路構造令と公共測量の制度
• 土木学会 — 土木工学の学術資料
• 産業技術総合研究所 計量標準総合センター — 長さ・角度の国家計量標準
• 日本産業標準調査会（JISC） — JIS B 7912（測量機器）などの規格
• 国際測地学協会（IAG） — GRS80 楕円体などの国際的な測地基準
• 公共測量作業規程の準則（間接水準測量） — 間接水準の観測方法と許容範囲
• JIS B 7912-3（セオドライトの現場試験） — 鉛直角の精度の点検
• 気象庁（大気の屈折・気温減率） — 気差係数の背景となる大気の性質

※本ツールは公的基準に基づく参考計算です。医療・法務・税務の判断は最新の告示・規格および専門家の判断に従ってください。

よくある質問（FAQ）

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